第一章 行列式

1.1 n阶行列式的概念

n阶行列式
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots&\vdots& &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$
是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
$a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$
的代数和。当$j_1j_2\cdots j_n$是偶排列时，该项的前面带正号；当$j_1j_2\cdots j_n$是奇排列时，该项的前面带负号，即
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots&\vdots& &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$
$\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}$表示对所有n阶排列求和。上式称为n阶行列式的完全展开式

1.2 行列式的性质

1. 经过转置行列式的值不变，即$|A^T|=|A|$
   $\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \\ \end{vmatrix}$
   由此可见行列式中行的性质和列的性质是对等的

2. 两行（两列）互换位置，行列式的值变号
   特别地，两行（两列）相同，行列式的值为0

3. 某行（或列）如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。即用数k乘以行列式|A|等于用k乘以它的某行（或列）
   特别地：

   1. 某行（或列）的元素全为0，行列式的值为0
   2. 若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为0

4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和
   $\begin{vmatrix} a_{1}+b_{1} & a_{2}+b_{2} & a_{3}+b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ d_1 & d_2 & d_3 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ d_1 & d_2 & d_3 \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ d_1 & d_2 & d_3 \\ \end{vmatrix}$

5. 把某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式的值不变
   $\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1}+ka_1 & b_{2}+ka_2 & b_{3}+ka_3 \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \end{vmatrix}$

1.3 行列式按行（或列）展开公式

n阶行列式的值等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即
$|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum\limits^n_{k=1}a_{ik}A_{ik}, i=1,2,\cdots,n \ \ (1.2)$
$|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum\limits^n_{k=1}a_{kj}A_{kj}, i=1,2,\cdots,n\ \ (1.2')$
公式(1.2)称|A|按第i行展开的展开式，公式(1.2')称|A|按第j列展开的展开式

注：关于代数余子式的概念
在n阶行列式中划去$a_{ij}$所在的第i行、第j列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式。称其为$a_{ij}$的余子式，记为$M_{ij}$；称$(-1)^{i+j}M_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式，记为$A_{ij}$即
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

1.4 几个重要公式

1. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积
   $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & &\ddots &\vdots \\ & & & a_{nn} \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{12} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots &\ddots &\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots& a_{nn} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

2. 关于副对角线的行列式
   $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,n-1} & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots \\ a_{n1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & &\vdots &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn} \\ \end{vmatrix}= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}...a_{n1}$

3. 两个特殊的拉普拉斯展开式
   如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则
   $\begin{vmatrix} A & * \\ O & B \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A & O \\ * & B \\ \end{vmatrix}=|A|\cdot |B|$
   $\begin{vmatrix} O & A \\ B & * \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} * & A \\ B & O \\ \end{vmatrix}= (-1)^{mn}|A|\cdot |B|$

4. 范德蒙行列式
   $\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} =\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_i-x_j)$
   等式右侧表示所有$(x_i-x_j)$的乘积

1.5 抽象n阶方阵行列式公式

1. 若A是n阶矩阵，$A^T$是A的转置矩阵，则$|A^T|=|A|$
2. 若A是n阶矩阵，则$|kA|=k^n|A|$
3. （行列式乘法公式）若A,B都是n阶矩阵，则$|AB|=|A||B|$。特别地$|A^2|=|A|^2$
4. 若A是n阶矩阵，$A^*$是A的伴随矩阵，则$|A^*|=|A|^{n-1}$
5. 若A是n阶可逆矩阵，$A^{-1}$是A的逆矩阵，则$|A^{-1}|=|A|^{-1}$
6. 若A是n阶矩阵，$\lambda_i(i=1,2,...,n)$是A的特征值，则$|A|=\prod\limits^n_{i=1}\lambda_i$
7. 若矩阵A和B相似$A\sim B$，则$|A|=|B|$

注：一般情况$|A+B|\neq |A|+|B|,|A-B|\neq |A|-|B|,|kA|\neq k|A|$

1.6 代数余子式性质的补充

1. 行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0，即
   $\sum^n_{k=1}a_{ik}A_{jk}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots +a_{in}A_{jn}=0,\ i\neq j$
   $\sum^n_{k=1}a_{ki}A_{kj}=a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots +a_{ni}A_{nj}=0,\ i\neq j$

2. 若A是n阶矩阵，$A^*$是A的伴随矩阵，则
   $AA^*=A^*A=|A|E$

第二章 矩阵

1 矩阵的概念及运算

一、矩阵的概念

定义 2.1

$m\times n$个数排成如下m行n列的一个表格
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$
称为是一个$m\times n$矩阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或叫n阶方阵

如果一个矩阵的所有元素都是0，即
$\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$
则称这个矩阵是零矩阵，可简记为$\bm{O}$

两个矩阵$\bm{A}=[a_{ij}]_{m\times n},\bm{B}=[b_{ij}]_{s\times t}$，如果m=s,n=t，则称A与B是同型矩阵

两个同型矩阵$\bm{A}=[a_{ij}]_{m\times n},\bm{B}=[b_{ij}]_{m\times n}$，如果对应的元素都相等，即$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$，则称矩阵A与B相等，记作A=B

n阶方阵$\bm{A}=[a_{ij}]_{n\times n}$的元素所构成的行列式
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
注：矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。$\bm{A}=\bm{O}$与$|\bm{A}|=0$是不同的。当$\bm{A}\neq \bm{O}$时可以有$|\bm{A}|=0$

二、矩阵的运算

定义 2.2（加法）

两个同型矩阵可以相加，且
$\bm{A}+\bm{B}=[a_{ij}]_{m\times n}+[b_{ij}]_{m\times n}=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}$

定义 2.3（数量乘法、简称数乘）

设k是数，$\bm{A}=[a_{ij}]_{m\times n}$是矩阵，则定义数与矩阵的乘法为
$k\bm{A}=k[a_{ij}]_{m\times n}=[ka_{ij}]_{m\times n}$

定义 2.4（乘法）

设A是一个$m\times s$矩阵，B是一个$s\times n$矩阵（A的列数=B的行数），则A,B可乘，且乘积AB是一个$m\times n$矩阵，记成$\bm{C}=\bm{AB}=[c_{ij}]_{m\times n}$，其中C的第i行、第j列元素$c_{ij}$是A的第i行s个元素和B的第j列的s个对应元素两两乘积之和，即
$c_{ij}=\sum\limits^{s}_{k=1}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}$
矩阵的乘法可图示如下：
$i\begin{bmatrix} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{is} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vdots & b_{1j} & \vdots \\ \vdots & b_{2j} & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & b_{sj} & \vdots \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} & \vdots & \\ \cdots & c_{ij} & \cdots \\ & \vdots & \end{bmatrix}i$
特别地，设A是一个n阶方阵，则记$\overbrace{A\cdot A\cdots A}^{k个}=A^k$称为A的k次幂

定义 2.5（转置）

将$m\times n$型矩阵$\bm{A}=[a_{ij}]_{m\times n}$的行列互换得到的$n\times m$矩阵$[a_{ji}]_{n\times m}$称为A的转置矩阵，记为$A^T$，即

三、矩阵的运算规则

1. 加法

A,B,C是同型矩阵，则

• $\bm{A}+\bm{B}=\bm{B}+\bm{A}\ \ 交换律$
• $(\bm{A}+\bm{B})+\bm{C}=\bm{A}+(\bm{B}+\bm{C})\ \ 结合律$
• $\bm{A}+\bm{O}=\bm{A}\ \ 其中O是元素全为零的同型矩阵$
• $\bm{A}+(-\bm{A})=\bm{O}$

2. 数乘矩阵

• $k(mA)=(km)A=m(kA)$
• $(k+m)A=kA+mA$
• $k(A+B)=kA+kB$
• $1A=A,0A=O$

3. 乘法

A,B,C满足可乘条件

• $(AB)C=A(BC)$
• $A(B+C)=AB+AC$
• $(B+C)A=BA+CA$

注意一般情况 $AB\neq BA$

4. 转置

• $(A+B)^T=A^T+B^T$
• $(kA)^T=kA^T$
• $(AB)^T=B^TA^T$
• $(A^T)^T=A$

5. 伴随阵的运算

• $AA^*=A^*A=|A|E$
• $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A\ (|A|\neq 0)$
• $(A^*)^T=(A^T)^*$
• $(kA)^*=k^{n-1}A^*$
• $|A^*|=|A|^{n-1}$
• $(A^*)^*=|A|^{n-2}A\ (n\geq 2)$

6. 方阵的幂

$(A^k)^l=A^{kl},A^kA^l=A^{k+l}$
注意

• $(AB)^k=(AB)(AB)\cdots (AB)\neq A^kB^k$
• $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\neq A^2+2AB+B^2$
• $(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2\neq A^2-B^2$

四、特殊矩阵

设A是n阶矩阵

1. 单位矩阵：主对角元素为1，其余元素为0的矩阵称为单位阵，记成$E_n$（有时E记为I）
2. 数量阵：数k与单位阵E的积$kE$称为数量阵
3. 对角阵：非对角元素都是0的矩阵（即$\forall i\neq j$恒有$a_{ij}=0$）称为对角阵，记成$\Lambda$
   $\Lambda=diag[a_1,a_2,\cdots,a_n]$
4. 上（下）三角阵：当$i>j(i<j)$时，有$a_{ij}=0$的矩阵称为上（下）三角阵
5. 对称阵：满足$A^T=A$，即$a_{ij}=a{ji}$的矩阵称为对称阵
6. 反对称阵：满足$A^T=-A$，即$a_{ij}=-a{ji},a{ii}=0$的矩阵称为反对称阵
7. 正交阵：$A^TA=AA^T=E$的矩阵称为正交阵，即$A^T=A^{-1}$
8. 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵
9. 伴随矩阵：由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如
   $\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$
   的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为$A^*$

2 可逆矩阵

主要定理
定理2.1 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
定理2.2 $A可逆\Leftrightarrow |A|\neq 0$

一、可逆矩阵的概念

定义2.6 设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B使得
$AB=BA=E(单位矩阵)$
成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成$A^{-1}=B$

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件

1. 存在n阶矩阵B，使AB=E（或BA=E）
2. $|A|\neq 0$，或秩$r(A)=n$，或A的列（行）向量线性无关
3. 齐次方程组$Ax=0$只有零解
4. $\forall b$，非齐次线性方程组$Ax=b$总有唯一解
5. 矩阵A的特征值全不为0

三、逆矩阵的运算性质

若$k\neq 0$，则$(kA)^{-1}=\frac{1}{A}A^{-1}$，若A,B可逆，则$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，特别地$(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2$

若$A^T$可逆，则$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T;(A^{-1})^{-1}=A;|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$

注：即使A,B和A+B都可逆，一般地$(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$

四、求逆矩阵的方法

方法一 用公式，若$|A|\neq 0$，则
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

方法二 初等变换法
$(A|E)\underrightarrow{初等行变换}(E|A^{-1})$

方法三 用定义求B，使AB=E或BA=E，则A可逆，且$A^{-1}=B$

方法四 用分块矩阵
设B,C都是可逆矩阵，则
$\begin{bmatrix} B & O\\ O & C \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} B^{-1} & O \\ O & C^{-1} \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} O & B \\ C & O \end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O \end{bmatrix}$

3 初等变换、初等矩阵

主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A作了一次和矩阵P同样的行变换（若左乘就是相应的列变换）

一、定义

定义2.7（初等变换） 设A是$m\times n$矩阵

1. 用某个非零常数$k(k\neq 0)$乘A的某行（列）的每个元素
2. 互换A的某两行（列）的位置
3. 将A的某行（列）元素的k倍加到另一行（列）

称为矩阵的三种初等行（列）变换，且分别称为初等倍乘、互换、倍加行（列）变换，统称初等变换

定义2.8（初等矩阵） 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，它们分别是（以三阶为例）

1. 倍乘初等矩阵，记
   $E_2(k)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k &0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$
   $E_2(k)$表示由单位阵E的第2行（或第2列）乘$k(k\neq 0)$倍得到的矩阵

2. 互换初等矩阵，记
   $E_{12}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1& 0 &0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$
   $E_{12}$表示由单位阵的第1，第2行（或1,2列）互换得到的矩阵

3. 倍加初等矩阵，记
   $E_{31}(k)=\begin{bmatrix} 1 &0 & 0\\ 0& 1 &0\\ k&0&1 \end{bmatrix}$
   $E_{31}(k)$表示由单位阵E的第1行的k倍加到第3行得到的矩阵。当看成列变换时，应是E的第3列的k倍加到第1列得到的矩阵

定义2.9（等价矩阵）
矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成$A\simeq B$。若$A\simeq\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}$，则后者称为A的等价标准形。（A的等价标准形是与A等价的所有矩阵中的最简矩阵）

二、初等矩阵与初等变换的性质

1. 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
2. 初等矩阵均是可逆阵，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵
   注意，有$E^{-1}_i(k)=E_i(\frac{1}{k}),E^{-1}_{ij}=E_{ij},E^{-1}_{ij}(k)=E_{ij}(-k)$
3. A左乘（右乘）初等矩阵，相当于对A做相应的初等行（列）变换
4. 当A是可逆阵时，则A可作一系列初等行变换化成单位阵，即存在初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_N$，使得$P_N\cdots P_2P_1A=E$

4 矩阵的秩

求秩主要方法：

定理2.3 经初等变换矩阵的秩不变

定理2.4 如果A可逆，则$r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$

一、矩阵秩的概念

定义2.10（矩阵的秩） 设A是$m\times n$矩阵，若A中存在r阶子式不等于零，且所有r+1阶子式（如果存在的话）均等于零，则称矩阵A的秩为r，记成r(A)，零矩阵的秩规定为0

注 在$m\times n$矩阵A中，任取k行与k列（$k\leq m,k\leq n$)，位于这些行与列的交叉点上的$k^2$个元素按其在原来矩阵A中的次序可构成一个k阶行列式，称其为矩阵A的一个k列子式

秩$r(A)=r\Leftrightarrow$矩阵A中非零子式的最高阶数是r
$r(A)<r\Leftrightarrow$A中每一个r阶子式全为0
$r(A)\geq r\Leftrightarrow$A中有r阶子式不为0

特别地，$r(A)=0\Leftrightarrow A=O$
$A\neq O\Leftrightarrow r(A)\geq 1$

若A是n阶矩阵，则

• $r(A)=n\Leftrightarrow |A|\neq 0\Leftrightarrow A可逆$
• $r(A)<n\Leftrightarrow |A|=0\Leftrightarrow A不可逆$

若A是$m\times n$矩阵，则$r(A)\leq \min(m,n)$

二、矩阵秩的公式

• $r(A)=r(A^T);r(A^TA)=r(A)$
• 当$k\neq 0$时，$r(kA)=r(A);r(A+B)\leq r(A)+r(B)$
• $r(AB)\leq \min(r(A),r(B))$
• 若A可逆，则$r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$
• 若A是$m\times n$矩阵，B是$n\times s$矩阵，$AB=O$，则$r(A)+r(B)\leq n$
• 分块矩阵$r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B)$

5 分块矩阵

1、分块矩阵的概念

将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵（或子块），把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵

由于不同的需要，同一个矩阵可以用不同的方法分块，构成不同的分块矩阵
$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_m \end{bmatrix}$，其中$\alpha_i=[a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}],i=1,2,\cdots,m$，是A的子矩阵，A是以行分块的分块阵

以列分块的矩阵类似

$C=\begin{bmatrix} c_{11}&c_{12}&0&0&0\\ c_{21}&c_{22}&0&0&0\\ c_{31}&c_{32}&c_{33}&c_{34}&c_{35}\\ c_{41}&c_{42}&c_{43}&c_{44}&c_{45} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C_1&O\\C_3&C_4\end{bmatrix}$ 其中$C_1,O,C_3,C_4$是C的子矩阵

二、分块矩阵的运算

若B,C分别是m阶与s阶矩阵，则
$\begin{bmatrix}B&O\\ O&C\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}B^n&O\\ O&C^n\end{bmatrix}$

若B,C分别是m阶与n阶可逆矩阵，则
$\begin{bmatrix}B&O\\ O&C\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}B^{-1}&O\\ O&C^{-1}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}O&B\\ C&O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O&C^{-1}\\ B^{-1}&O\end{bmatrix}$
若A是$m\times n$矩阵，B是$n\times s$矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有
$AB=A[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s]=[A\beta_1,A\beta_2,\cdots,A\beta_s]=[0,0,\cdots,0]$
$A\beta_i=0\ (i=1,2,\cdots,s)$
即B的列向量是齐次方程组$Ax=0$的解

若AB=C，其中A是$m\times n$的矩阵，B是$n\times s$的矩阵，则对B,C按行分块有
$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_m\end{bmatrix}$
即
$\begin{cases} a_{11}\beta_1+a_{12}\beta_2+\cdots+a_{1n}\beta_n=\alpha_1 \\ a_{21}\beta_1+a_{22}\beta_2+\cdots+a_{2n}\beta_n=\alpha_2 \\ \vdots\\ a_{m1}\beta_1+a_{m2}\beta_2+\cdots+a_{mn}\beta_n=\alpha_m \end{cases}$
可见矩阵AB的行向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$可由B的行向量$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$线性表出

类似地，对矩阵A,C按列分块，有
$[\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n] \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1s}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2s}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{ns} \end{bmatrix}=[\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_s]$

由此得
$\begin{cases} b_{11}\gamma_1+b_{21}\gamma_2+\cdots+b_{n1}\gamma_s=\delta_1 \\ b_{12}\gamma_1+b_{22}\gamma_2+\cdots+b_{n2}\gamma_s=\delta_2 \\ \vdots\\ b_{1s}\gamma_1+b_{2s}\gamma_2+\cdots+b_{ns}\gamma_s=\delta_s \end{cases}$
即矩阵AB的列向量可由A的列向量线性表出

第三章 向量

1 n维向量的概念与运算

n维向量 n个数$a_1,a_2,\cdots,a_n$所构成的一个有序数组称为n维向量。记成$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$或$(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T$，分别称为n维行向量或n维列向量，数$a_i$称为向量的第i个分量

零向量 所有分量都是0的向量称为零向量，记为0

n维向量$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$相等
$\alpha=\beta \Leftrightarrow a_1=b_1,a_2=b_2,\cdots,a_n=b_n$

n维向量的运算。如$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$，则

1. 加法 $\alpha+\beta=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)^T$
2. 数乘 $k\alpha=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)^T$
3. 内积 $(\alpha,beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha$
   特别地，如$(\alpha,\beta)=0$，则称向量$\alpha$与$beta$正交
   又$(\alpha,\alpha)=\alpha^T\alpha=a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_n$，称$\sqrt{a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_n}$为向量$\alpha$的长度

向量的加法、数乘满足：
$\alpha+\beta=\beta+\alpha,(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma),\alpha+\bm{0}=\bm{0}+\alpha=\alpha,\alpha+(-\alpha)=\bm{0}$
$1\cdot\alpha=\alpha,k(l\alpha)=(kl)\alpha,(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha,k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

向量内积满足：
$(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)\ \ k(\alpha,\beta)=(k\alpha,beta)=(\alpha,k\beta)$
$(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma),(\alpha,\alpha)\geq 0$,等号成立当且仅当$\alpha=0$

2 线性表出、线性相关

线性组合 m个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$及m个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$所构成的向量
$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$
称为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$的一个线性组合，数$k_1,k_2,\cdots,k_m$称为组合系数

一、线性表出的概念

定义 3.1 对n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s和\beta$，如果存在实数$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得
$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\beta$
则称向量$\beta$是向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的线性组合，或者说向量$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性表出（示）

定义 3.2 设有两个n维向量组$(I)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s;(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t;$如果(I)中每个向量$\alpha_i(i=1,2,\cdots,s)$都可由(II)中的向量$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性表出，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表出

如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价

注：

1. 等价向量组具有传递性、对称性、反身性
2. 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组
3. 向量组的任意两个极大线性无关组是等价向量组
4. 等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价

二、线性相关、线性无关的概念

定义 3.3 对于n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$，如果存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_s$使得
$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\bm{0}$
则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，否则称它线性无关

线性无关应当理解清晰：
只要$k_1,k_2,\cdots,k_s$不全为零，必有$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\neq \bm{0}$
或者，当且仅当$k_1=k_2=\cdots=k_s=0$时，才有$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\bm{0}$

显然，含有零向量、相等向量、坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯型向量组一定是线性无关的

三、线性表出、线性相关的重要定理

定理 3.1 n维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关
等价于 齐次方程组$(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_s\end{bmatrix}=0$有非零解
等价于 秩$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)<s$

推论

1. n个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关$\Leftrightarrow$行列式$|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|=0$
2. n+1个n维向量必线性相关
3. 如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性相关，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\alpha_{r+1},\cdots,\alpha_s$必线性相关
4. 如果n维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关，则它的延伸组$\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \beta_1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\alpha_2\\ \beta_2\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}\alpha_s\\ \beta_s\end{pmatrix}$必线性无关

定理 3.2 n维向量$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性表出
等价于 非齐次方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=\beta$有解
等价于 秩$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\beta)$

定理 3.3 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关 等价于 至少有一个向量$\alpha_i$可以由其余s-1个向量线性表出

定理 3.4 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关，而向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta$线性相关，则向量$\beta$可以由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性表出，且表示法唯一

定理 3.5 设有两个n维向量组$(I)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$
如果(I)能由(II)线性表出，且s>t，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$必线性相关
推论 若n维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$可由$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性表出，且$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关，则$s\leq t$

3 极大线性无关组、秩

一、极大线性无关组、向量组秩的概念

定义 3.4 设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$中，有一个部分组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}(1\leq r\leq s)$，满足条件

1. $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$线性无关
2. 再添加任一向量$\alpha_j(1\leq j\leq s)$，向量组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r},\alpha_j$必线性相关

则称向量组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$是向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的一个极大线性无关组

注

1. 只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组
2. 一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身
3. 向量组的极大线性无关组一般不唯一，但其极大线性无关组的向量个数是一样的
4. 条件2. 的等价说法是：向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$中任一向量$\alpha_j(1\leq j\leq s)$，必可由$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$，线性表出

定义 3.5 向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩，记为$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r$

注 $r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\leq r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\alpha_{s+1})$

二、有关秩的定理

定理 3.6 如果向量组$(I)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$可由$(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i$线性表出
则$r(I)\leq r(II)$

推论 如果向量组(I)和(II)等价，则$r(I)=r(II)$

定理 3.7 r(A)=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）

定理 3.8 经初等变换向量组的秩不变

4 Schmidt 正交化、正交矩阵

一、Schmidt正交化（正交化规范方法）

设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，其正交规范化方法步骤如下：
令$\beta_1=\alpha_1$
$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_2)}\beta_1$
$\beta_3=\alpha_3-frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_2)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2$
则$\beta_1,\beta_2,\beta_3$两两正交

再将$\beta_1,\beta_2,\beta_3$单位化，取
$\gamma_1=\frac{\beta_1}{|\beta_1|},\gamma_2=\frac{\beta_2}{|\beta_2|},\gamma_3=\frac{\beta_3}{|\beta_3|}$
则$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$是正交规范向量组（即两两正交且均是单位向量）

二、正交矩阵

设A是n阶矩阵，满足$AA^T=A^TA=E$，则A是正交矩阵

A是正交矩阵
等价于 $A^T=A^{-1}$
等价于 A的列（行）向量组是正交规范向量组

如A是正交矩阵，则行列式|A|=1或-1

5 向量空间

一、向量空间的概念

定义 3.6 全体n维向量连同向量的加法和数乘运算合称为n维向量空间

定义 3.7 设W是n维向量的非空集合，如果满足

1. $\forall \alpha,\beta\in W$必有$\alpha+\beta\in W$
2. $\forall\alpha\in W$及任一实数k必有$k\alpha\in W$

则称W是向量空间的子空间

定义 3.8 如果向量空间V中的m个向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$满足

1. $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关
2. 对于V中任意向量$\beta$，$\beta$均可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性表出，即
   $x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=\beta$
   则称$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$为向量空间V的一个基底（或基）。基中所含向量的个数m称为向量空间V的维数，记作$dimV=m$，并称V是m维向量空间。向量$\beta$的表示系数$x_1,x_2,\cdots,x_m$称为向量$\beta$在基底$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$下的坐标

定义 3.9 设$e_1,e_2,\cdots,e_n$是向量空间的一组基，如果它们满足
$(e_i,e_j)=\begin{cases}1,& i=j\\0,& i\neq j\end{cases}$
则称$e_1,e_2,\cdots,e_n$为规范正交基

齐次方程组Ax=0的解向量的集合W，由解的性质知：
若$\alpha,\beta$是Ax=0的解，则$\alpha+\beta,k\alpha$仍是Ax=0的解，所以W是n维向量空间的子空间，通常称为解空间

例如$A=\begin{bmatrix}1&1&0&-1\\0&1&0&1\end{bmatrix}$

则齐次方程组Ax=0的基础解系
$\eta_1=[0,0,1,0]^T,\eta_2=[2,-1,0,1]^T$
是解空间的基，解空间的维数是$n-r(A)=4-2=2$

本题中，$\eta_1与\eta_2$已经正交，将其单位化
$\gamma_1=[0,0,1,0]^T,\gamma_2=\frac{1}{sqrt{6}}[2,-1,0,1]^T$
就是解空间的规范正交基

定义 3.10 在n维向量空间给定两组基
$(I)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\ \ (II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$
若
$\beta_1=c_{11}\alpha_1+c_{21}\alpha_2+\cdots+c_{n1}\alpha_n$
$\beta_2=c_{12}\alpha_1+c_{22}\alpha_2+\cdots+c_{n2}\alpha_n$
$\cdots$
$\beta_n=c_{1n}\alpha_1+c_{2n}\alpha_2+\cdots+c_{nn}\alpha_n$
即$[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]C$
其中ParseError: KaTeX parse error: Expected & or \\ or \cr or \end at end of input: …}&\cdots&c_{nn}
称为由基$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵

二、主要定理

定理 3.9 如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$与$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$是n维向量空间的两个基底，则由基$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵C是可逆矩阵

定理 3.10 如果向量$\gamma$在基底$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的坐标为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，向量$\gamma$在基底$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的坐标为$y_1,y_2,\cdots,y_n$，则坐标变换公式为
$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}=C\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\ \vdots\\y_n\end{bmatrix} 或 x=Cy$
其中n阶矩阵C是由基底$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到基底$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵

定理 3.11 若$e_1,e_2,\cdots,e_n$是规范正交基，设
$[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n]=[e_1,e_2,\cdots,e_n]C$
则$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$是规范正交基的充分必要条件是C为正交矩阵

第四章 线性方程组

1 克拉默法则

克拉默法则 若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}$
的系数行列式$|A|\neq 0$，则方程组有唯一解，且
$x_i=\frac{A_i}{A},i=1,2,\cdots,n$
其中$|A_i|$是$|A|$中第i列元素（即$x_i$的系数）替换成方程组右端的常数项$b_1,b_2,\cdots,b_n$所构成的行列式

推论 若包含n个方程n个未知量的齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0 \end{cases}$
的系数行列式$|A|\neq 0$的充要条件是方程组有唯一零解

反之，若齐次线性方程组有非零解，充要条件是其系数行列式$|A|\neq 0$

2 齐次线性方程组

齐次线性方程组的表达形式 n个未知量，m个方程组成的方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$
称为齐次线性方程组，上式称为齐次线性方程组的一般形式

方程组写成向量形式，则是
$\bm{\alpha}_1 x_1+\bm{\alpha}_2 x_2+\cdots+\bm{\alpha}_n x_n=\bm{0}$
其中$\bm{\alpha}_j=[a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj}]^T,\ j=1,2,\cdots,n,\ \bm{0}=[0,0,\cdots,0]^T$

写成矩阵形式，则是
$\bm{A}_{m\times n}\bm{x}=\bm{0}$

其中
$\bm{A}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix},\ \bm{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{bmatrix},\ \bm{0}=\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix}$

齐次线性方程组的解 若将有序数组$c_1,c_2,\cdots,c_n$代入方程组的未知量$x_1,x_2,\cdots,x_n$，使每个方程等式成立，则称$[c_1,c_2,\cdots,c_n]^T$为方程组的一个解（或解向量），记成$\bm{\xi}=[c_1,c_2,\cdots,c_n]^T$，即$\alpha_1 c_1+\alpha_2 c_2+\cdots+\alpha_n c_n=\bm{0}$或$\bm{A}\bm{\xi}=\bm{0}$，即齐次方程组的解是使A的列向量线性组合为零的线性组合系数

若方程组只有零解 等价于 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关

齐次线性方程组的基础解系 设$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是$Ax=0$的解向量，若满足

1. $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$线性无关
2. $Ax=0$的任一解向量$\xi$均可由$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$线性表出

则称向量组$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是$Ax=0$的基础解系

条件2.等价于“加入任一解向量$\xi$，使得$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r},\xi$线性相关”，等价于“r(A)=r”，即线性无关解向量的个数为n-r，满足r(A)+线性无关解的个数=n（n是未知量个数）

Ax=0的解的性质 若$\xi_1,\xi_2$是齐次线性方程组$Ax=0$的解，则$k_1\xi_1,k_1\xi_1+k_2\xi_2$仍是$Ax=0$的解，其中$k_1,k_2$是任意常数

同样，若$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$均是Ax=0的解，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_s\xi_s$仍是Ax=0的解，其中$k_1,k_2,\cdots,k_s$均是任意常数

Ax=0的有解条件 齐次线性方程Ax=0一定有解，至少有零解

齐次线性方程组$A_{m\times n}x=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]x=\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_n x_n=0$只有零解（有非零解）
等价于 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$（方程组的列向量组，即A的列向量组）线性无关（线性相关）
等价于 $r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=r(A_{m\times n})=n(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=r(A_{m\times n})<n)$

基础解系向量个数与r(A)的关系 若A是$m\times n$矩阵，r(A)=r<n，则齐次线性方程组Ax=0存在基础解系，且基础解系有n-r个线性无关解向量组成。故
$基础解系向量个数+r(A)=n(未知量个数)$

Ax=0的通解 若$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是Ax=0的基础解系，则
$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$
是Ax=0的通解（或称一般解），其中$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$是任意常数

基础解系和通解的求法
利用初等行变换不改变线性方程组的解，将A作初等行变换化成阶梯形矩阵，可具体求得基础解系

设
$A\underrightarrow{初等行变换} \begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1r}&c_{1,r+1}&\cdots&c_{1n}\\ 0&c_{22}&\cdots&c_{2r}&c_{2,r+1}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&c_{rr}&c_{r,r+1}&\cdots&c_{rn}\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0& &0&0& &0 \end{bmatrix}=B$
得Ax=0的同解方程组Bx=0，即
$\begin{aligned} c_{11}x_1+c_{12}x_2+\cdots+c_{1r}x_r+c_{1,r+1}x_{r+1}+\cdots+c_{1n}x_n=0\\ c_{22}x_2+\cdots+c_{2r}x_r+c_{2,r+1}x_{r+1}+\cdots+c_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ c_{rr}x_r+c_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots+c_{rn}x_n=0 \end{aligned}$
阶梯形方程的每行中第一个系数不为零的r个未知量$x_1,x_2,\cdots,x_r$称为独立未知量，而后面的n-r个未知量$x_{r+1},\cdots,x_n$称为自由未知量，将自由未知量$x_{r+1},\cdots,x_n$分别赋下列n-r组值
$[1,0,\cdots,0]^T,[0,1,0,\cdots,0]^T,\cdots,[0,0,\cdots,1]^T$
代入方程，求出相应的独立未知量$x_1,x_2,\cdots,x_r$并得到n-r个解
$\begin{aligned} \xi_1 & =[d_{11},d_{12},\cdots,d_{1r},1,0\cdots 0]^T\\ \xi_2 & =[d_{21},d_{22},\cdots,d_{2r},0,1,\cdots 0]^T\\ ......\\ \xi_{n-r} & =[d_{n-r1},d_{n-r2},\cdots d_{n-rr},0,\cdots,0,1]^T \end{aligned}$

可以证明，$\xi_1,\xi_2,\cdots\xi_{n-r}$即是方程组$Ax=0$的基础解系所以方程组的通解为$k_1\xi_i+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n_r}$，其中$k_i(i=1,2,\cdots,n-r)$是任意常数

注：初等行变换化阶梯形的过程不同，自由未知量的选择和赋值方法不同，基础解系不唯一，但所含线性无关解向量个数一样，全体解的解集合是一样的

3 非齐次线性方程组

非齐次线性方程组的表达形式 n个未知量、m个方程组组成的方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$
称为非齐次线性方程组，上式称为非齐次线性方程组的一般形式，其中右端常数项$b_1,b_2,\cdots,b_m$不全为零

方程组写成向量形式则是
$\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_n x_n=b$
其中$\alpha_j=[a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj}]^T,(j=1,2,\cdots,n),b=[b_1,b_2,\cdots,b_m]^T$

方程组写成矩阵形式则是
$A_{m\times n}x=b$
其中
$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}, x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots\\b_m\end{bmatrix}$

非齐次线性方程组的解 若将有序数组$c_1,c_2,\cdots,c_n$代入方程组的未知量$x_1,x_2,\cdots,x_n$，使得每个方程等式成立，则称$[c_1,c_2,\cdots,c_n]^T$为方程组的一个解（或解向量），记成$\eta=[c_1,c_2,\cdots,c_n]^T$，即$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_n\alpha_n=b$或$A\eta=b$，即向量形式非齐次方程组的解是b可由A的列向量线性表出的表出系数

Ax=b的解的性质 设$\eta_1,\eta_2$是Ax=b的两个解，$\xi$是对应齐次方程组Ax=0的解，则
$A(\eta_1-\eta_2)=0,A(\eta_1+k\xi)=b(其中看k是任意常数)$

Ax=b的有解条件
$A_{m\times n}x=b$无解$\Leftrightarrow$b不能由A的列向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_n$线性表出
$\Leftrightarrow r(A)\neq r(A|b)\ (r(A)+1=r(A|b))$

$A_{m\times n}x=b$有解$\Leftrightarrow$b可由A的列向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_n$线性表出
$\Leftrightarrow r(A)= r(A|b)$，即$r(a_1,a_2,\cdots,a_n)=r(a_1,a_2,\cdots,a_n,b)$
$\Leftrightarrow {\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n}等价{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,b}$

若$r(a_1,a_2,\cdots,a_n)=n=r(a_1,a_2,\cdots,a_n,b)\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n.b$线性相关$\Leftrightarrow$b可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出，且表出法唯一$\Leftrightarrow$Ax=b有唯一解

若$r(a_1,a_2,\cdots,a_n)=r(a_1,a_2,\cdots,a_n,b)=r<n\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关，b可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出，且表出法不唯一$\Leftrightarrow$Ax=b有无穷多解

Ax=b的通解结构 设$A_{m\times n}x=b$有特解$\eta$，对应的齐次线性方程组Ax=0有基础解系$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$，则Ax=b的通解为
$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta$
其中$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$是任意常数

非齐次线性方程组Ax=b通解的求法
用高斯消元法，将增广矩阵(A|b)作初等行变换化成阶梯形矩阵，先求出对应齐次线性方程组的基础解系$\xi_1,\xi_2\cdots,\xi_{n-r}(r(A)=r)$，再求一个非齐次特解设为$\eta$（求$\eta$时，可取自由未知量为任意值，为计算简单，一般将自由未知量均取零值，代入方程，求得独立未知量，并得$\eta$，则$Ax=b$的通解为
$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta$
其中$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$是对应齐次方程组的通解，$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$是任意常数

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵

1 特征值、特征向量

一、特征值、特征向量

A是n阶方阵，如果对于数$\lambda$，存在非零向量$\alpha$，使得
$A\alpha=\lambda\alpha \ (\alpha\neq 0)$
成立，则称$\lambda$是A的特征值，$\alpha$是A的对应于$\lambda$的特征向量

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵

由上式得，$(\lambda E-A)\alpha=0$，因$\alpha\neq 0$，故
$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix}=0$
上式称为A的特征方程，是未知元素$\lambda$的n次方程，在复数域内有n个根，方程的左端多项式称为A的特征多项式，矩阵$\lambda E-A$称为特征矩阵

三、特征值的性质

设$A=[a_{ij}]_{n\times n},\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)$是A的特征值，则

1. $\sum\limits^n_{i=1}\lambda_i=\sum\limits^n_{i=1}a_{ii}$
2. $\prod\limits^n_{i=1}\lambda_i=|A|$

四、求特征值、特征向量的方法

方法一

设$A=[a_{ij}]_{n\times n}$,则由$|\lambda E-A|=0$求出A的全部特征值$\lambda_i$，再由齐次线性方程组
$(\lambda_i E-A)x=0$
求出A的对应于特征值$\lambda_i$的特征向量。基础解系即是A的对应于$\lambda_i$的线性无关特征向量，通解即是A的对应于$\lambda_i$的全体特征向量（除0向量）

*注：*例如，对角阵和上下三角矩阵的特征值，即是主对角元素

方法二

利用定义，凡满足关系式$A\alpha=\lambda\alpha$的数$\lambda$即是A的特征值，$\alpha(\alpha\neq 0)$即是A的对应于$\lambda$的特征向量。一般用于抽象矩阵，或元素为文字的矩阵

*注：*例如，若齐次线性方程组$Ax=0$有基础解系$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-r}$，因$A\alpha_i=\bm{0}=0\alpha_i(i=1,2,\cdots,n-r)$，故$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-r}$是A的对应于$\lambda=0$的线性无关特征向量，故当$|A|=0$时，A有特征值$\lambda=0$

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化

一、相似矩阵

设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，则称A相似于B，记成$A\sim B$。若$A\sim\Lambda$，其中$\Lambda$是对角阵，则称A可相似对角化。$\Lambda$是A的相似标准形

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件

定理 5.1 n阶矩阵A可对角化$\Leftrightarrow$A有n个线性无关的特征向量

定理 5.2 $\lambda_1\neq \lambda_2$是A的特征值$\Leftrightarrow$A的对应于$\lambda_1,\lambda_2$的特征向量$\alpha_1,\alpha_2$线性无关

推论 n阶矩阵A有n个互不相同的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\Rightarrow$A有n个线性无关特征向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\Leftrightarrow$A可相似于对角阵

取$P=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]$，则有$P^{-1}AP=\Lambda$，其中$\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{bmatrix}$，注意P中$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$排列次序应与$\Lambda$中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$的排列次序一致

定理 5.3 $\lambda_i$是n阶矩阵A的$r_i$重特征值，则其对应的线性无关特征向量个数小于等于$r_i$个

推论 n阶矩阵A可相似对角化 等价于 A的每一个$r_i$重特征值对应的线性无关特征向量个数等于该特征值的重数$r_i$

当A的$r_i$重特征值$\lambda_i$对应的线性无关特征向量个数少于特征值的重数$r_i$时，A不能相似于对角阵

例如$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},|\lambda E-A|=(\lambda-1)^2=0,\lambda=1$是A的而重特征值，但由于$r(E-A)=r\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}=1,(E-A)x=0$只有一个线性无关解，即对应于$\lambda=1$（二重根）只有一个线性无关特征向量，故$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$不能与对角阵相似

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件

1. 性质

1. $A\sim A$，反身性
2. 若$A\sim B\Rightarrow B\sim A$，对称性
3. 若$A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C$，传递性

2. 两个矩阵A与B相似的必要条件

1. $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$
2. $r(A)=r(B)$
3. A,B有相同的特征值
4. $|A|=|B|=\prod\limits^n_{i=1}\lambda_i$
5. $\sum\limits^n_{i=1}a_{ii}=\sum\limits^n_{i=1}b_{ii}=\sum\limits^n_{i=1}\lambda_{i}$

3 实对称矩阵的相似对角化

一、实对称阵

元素$a_{ij}$都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵，$a_{ij}$是实数$\Leftrightarrow a_{ij}=\bar{a}_{ij}$（$\bar{a}_{ij}$是$a_{ij}$的共轭）记$\bar{A}=[\bar{a}_{ij}]$，则A是实对称阵$\Leftrightarrow A^T=A$，且$\bar{A}=A$

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化

定理 5.4 实对称矩阵的特征值全部是实数
定理 5.5 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交
定理 5.6 实对称矩阵必相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，且存在正交阵Q，使得$Q^{-1}AQ=Q^T AQ=\Lambda$

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤

1. 解特征方程$|\lambda E-A|=0$，求出全部特征值：$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$（均为实数）（若求得的是特征值的取值范围，则$\lambda$的取值范围应限于实数，去除复数）
2. 求$(\lambda_i E-A)x=0$的基础解系$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ik_i},i=1,2,\cdots,r$，即是A的属于特征值$\lambda_i$的线性无关的特征向量。若$\lambda_i$是$k_i$重根，则必有$k_i$个线性无关特征向量（若求解方程$(\lambda_i E-A)x=0$的基础解系时，使$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ik_i}$能相互正交更好，可免去下一步将$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ik_i}$正交化的工作）
3. 将每个属于$\lambda_i$的特征向量$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ik_i}$正交化（不同特征值对应的特征向量已相互正交）正交后的向量组记成$\beta_{i1},\beta_{i2},\cdots,\beta_{ik_i}$
4. 将全部特征向量单位化。得标准正交向量组记成
   $\beta_{11},\beta_{12},\cdots,\beta_{1k_1},\beta_{21},\beta_{22},\cdots,\beta_{2k_2},\cdots,\beta_{r1},\beta_{r2},\cdots,\beta_{rk_r}$
5. 将n个单位正交特征向量合并成正交矩阵，记成
   $Q=[\beta_{11},\beta_{12},\cdots,\beta_{1k_1},\beta_{21},\beta_{22},\cdots,\beta_{2k_2},\cdots,\beta_{r1},\beta_{r2},\cdots,\beta_{rk_r}]$

此即是所求的正交阵，且有
$Q^{-1}AQ=Q^T AQ=\Lambda$
其中$\Lambda$是A的全部特征值组成的对角阵（注意$\lambda_i$和$\beta_{ik_i}$的排列次序要求一致）

第六章 二次型

1 二次型的概念、矩阵表示

一、二次型概念

定义 6.1 n个变量的一个二次齐次多项式
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x^2_1+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n$
$+a_{22}x^2_2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n$
$+\cdots$
$+a_{nn}x^2_n$
称为n个变量的二次型，系数均为实数时，称为n元实二次型

例如：$f(x_1,x_2,x_3)=x^2_1+2x_1x_2+4x_1x_3+2x^2_2+6x_2x_3+x^2_3$是一个三元二次齐次多项式，称为三元二次型

二、二次型的矩阵表示

首先将二次型表示成矩阵形式，因表示成矩阵形式，因$x_ix_j=x_jx_i$，具有对称性，若令$a_{ij}=a_{ji},i<j$，则$2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i$，则二次型可以写成矩阵形式：
$\begin{aligned} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &= \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{ij}x_ix_j\\ &= [x_1,x_2,\cdots,x_n] \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}=\bm{x}^T \bm{Ax}\end{aligned}$
其中$A^T=A$是对称矩阵，称为二次型f的对应矩阵

例如：
$\begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3) &= x^2_1+2x_1x_2+4x_1x_3+2x^2_2+6x_2x_3+x^2_3\\ &=[x_1,x_2,x_3] \begin{bmatrix} 1&1&2\\ 2&2&3\\ 2&3& \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\bm{x^TAx} \end{aligned}$

2 化二次型为标准型、规范性 合同二次型

一、二次型的标准形，规范形

定义 6.2 若二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$只有平方项，没有混合项（即混合项的系数全为零），即
$\begin{aligned} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=\bm{x^TAx}\\ &=d_1x^2_1+\cdots+d_px^2_p-d_{p+1}x^2_{p+1}-\cdots-d_{p+q}x^2_{p+q}\end{aligned}$
其中$d_i>0,i=1,2,\cdots,p+q\ p+q=r\leq n$
则称二次型为标准形（又称平方和）

在二次型的标准形中，若平方项的系数$d_i$只是1,-1,0,即
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\bm{x}^T\bm{Ax}=x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_p-x^2_{p+1}-\cdots-x^2_{p+q}$
则称为二次型的规范形

二、化二次型为标准形，规范形

定理 6.1 对任意一个n元二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\bm{x}^T\bm{Ax}$，必存在正交变换$\bm{x}=\bm{Qy}$，其中Q是正交阵，化二次型为标准形，即
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\bm{x}^T\bm{Ax}=\bm{y}^T\bm{Q}^T\bm{AQy}=\lambda_1y^2_1+\lambda_2y^2_2+\cdots+\lambda_ny^2_n$
其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是A的n个特征值

用矩阵的语言表达，即

对任意一个n阶实对称阵A，必存在正交阵Q，使得
$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$
其中$\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{bmatrix},\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)$是A的特征值，即A必既相似又合同于对角阵

定理 6.2 任一个n元二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\bm{x}^T\bm{Ax}$，都可以通过（配方法）可逆线性变换$x=Cy$，其中C是可逆阵，化成标准形，即
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx=y^TC^TACy=d_1y^2_1+d_2y^2_2+\cdots+d_ny^2_n$
用矩阵的语言表达，即
对任意一个n阶实对称阵A，一定存在可逆阵C，使得$C^TAC=\Lambda$，其中
$\Lambda=\begin{bmatrix} d_1&0&\cdots&0\\ 0&d_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&d_n\end{bmatrix}$
即实对称阵必合同于对角阵

三、合同矩阵，合同二次型

定义 6.3（合同） 设A，B是两个n阶方阵，，若存在可逆阵C，使得$C^TAC=B$，则称A合同于B

合同矩阵有如下性质

• 反身性：A合同于A
• 对称性：若A合同于B，则B合同于A
• 传递性：若A合同于B，B合同于C，则A合同于C

一个二次型$f=x^TAx$，经过可逆线性变换$x=Cy$，其中C是可逆阵，得
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx=(Cy)^TACy=y^TC^TACy$
记作$y^TBy$，还可记作$g(y_1,y_2,\cdots,y_n)$
其中$B=C^TAC$，且B仍是对称阵

此时称A和B是合同矩阵，二次型f和g称为合同二次型。显然合同局长（合同二次型）有相同的秩

定理 6.3（惯性定理） 对于一个二次型，作可逆线性变换化成标准形（或规范形）。所作的可逆线性变换不唯一，标准形也不唯一，但其标准形中正平方项的项数p，负平方项的项数q都是由所给二次型唯一确定的

正平方项的项数p称为正惯性指数，赋平方项的项数q称为负惯性指数，p+q=r是二次型对应矩阵的秩，p-q称为符号差

定理 6.4 实对称阵A合同于B $\Leftrightarrow x^TAx$与$x^TBx$有相同的正、负惯性指数，
A合同于B$\Rightarrow r(A)=r(B)$

3 正定二次型、正定矩阵

定义 6.4（正定） 若对于任意的非零向量$\bm{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$，恒有
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{ij}x_ix_j=\bm{x}^T\bm{Ax}>0$
则称二次型f为正定二次型，对应矩阵为正定矩阵

例如：$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1x^2_1+d_2x^2_2+\cdots+d_nx^2_n$，其中$d_i>0,i=1,2,\cdots,n$。因其对任意的非零向量$\bm{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T\neq \bm{0}$，均有
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1x^2_1+d_2x^2_2+\cdots+x^2_n$
（规范形中系数都是1，没有0和-1）也是正定二次型

反之，只有平方项的二次型正定，则其系数$d_i>0,i=1,2,\cdots,n$，故
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1x^2_1+d_2x^2_2+\cdots+d_nx^2_n$正定$\Leftrightarrow d_i>0,i=1,2,\cdots,n$，即正惯性指数p=r=n

定理 6.5 可逆线性变换不改变二次型的正定性
由定理可知，对一般的二次型（或对称阵）应设法做可逆线性变换化成标准形（或规范形），看$d_i$是否均大于零来判别其正定性

定理 6.6 f正定的充要条件
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\bm{x}^T\bm{Ax}$正定$\Leftrightarrow$A的正惯性指数p=r=n（r是A的秩，n是未知量个数）$\Leftrightarrow$A合同于E，即存在可逆阵C，使得$\bm{C}^T\bm{AC}=E\Leftrightarrow \bm{A}=\bm{D}^T\bm{D}$，其中D是可逆阵$\Leftrightarrow$A的全部特征值$\lambda_i>0,i=1,2,\cdots,n \Leftrightarrow$A的全部顺序主子式大于零，即
$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}正定\Leftrightarrow a_{11}>0, \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\cdots,|A|>0$

定理 6.7 $f=x^TAx$正定的必要条件
若二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\bm{x}^T\bm{Ax}$正定，则

1. A的主对角元素$a_{ii}>0$
2. A的行列式$|A|>0$